CONOCIENDO LA REALIDAD. UNA APROXIMACION ESTADISTICA

David Hume  en “Investigación sobre el entendimiento humano” (1748) pone la cuestión en estos términos: no podemos tener un conocimiento directo de los objetos del  mundo externo más que al través de nuestras percepciones y tampoco podemos probar que éstas no nos engañan porque no hay prueba posible de la relación percepción/objeto. Este es el fundamento del llamado escepticismo radical que algunos intelectuales ejercen sobre el conocimiento científico.

En este caso también deberíamos desconfiar de los sucesos de nuestra cotidianeidad ¿por qué todos nosotros coincidimos en nuestras percepciones de los objetos? Podemos pensar que en los albores de la hominización sobre cada objeto hubiera un abanico de distintas sensaciones según las características de cada individuo. Aquéllas percepciones más próximas al desconocido mundo exterior le dieron a quienes poseían los órganos correspondientes una ventaja reproductiva, toscamente hablando, podían sobrevivir, llegar a la edad adulta y entonces sus genes tuvieron mayores chances de reproducirse, y al sucederse este proceso evolutivo en el transcurso de millones de años se fue ajustando cada vez más a ese desconocido mundo externo. Esta es una explicación plausible de porque en la vida de todos los días coincidimos en nuestras percepciones de los objetos. Pero no es una demostración acerca de la relación percepción/objeto. Sin embargo, en la vida de todos los días el escepticismo radical tiene poco sustento.

El fervor con que algunos intelectuales se concentran en esta discusión objetando al realismo cuando se trata del conocimiento científico contrasta con la falta de atención que le prestan si la misma se refiere a la vida cotidiana. Como estamos ante una situación sin remedio ya que la relación percepción/objeto difícilmente pueda ser lógicamente demostrable en algún futuro, los científicos se han basado en la experiencia diaria y en conceptos teóricos para llegar a resultados que a su vez han derivado en tecnologías en todos los campos del conocimiento en el tiempo que ha transcurrido desde Hume hasta nuestra época mientras que diversos grupos de intelectuales siguen insistiendo en el escepticismo porque es fuente de prestigio en algunos  claustros a los que pertenecen y en sectores del periodismo cultural, omitiendo que lo que no se puede probar no necesariamente es falso: que la relación percepción/objeto exista o no, no se puede probar en ninguno de sus sentidos, es lo que se llama un indecidible. Tampoco se puede probar la fiabilidad o no de nuestras sensaciones, (salvo en casos patológicos).

Razonando sobre la curiosidad que nuestras percepciones de las cosas coincidan abrumadoramente se puede pensar sobre qué ocurriría si nuestras percepciones difirieran de la realidad: Si nuestras percepciones fueran ajustadas a la realidad por ejemplo al 99,9%, bastan 13809 personas coincidentes  en declarar que lo que tienen ante sí es por ejemplo un vaso, para que la probabilidad de que esta coincidencia ocurra sea menor que un millonésimo. Esto quiere decir que la probabilidad de que 13809 personas consultadas reconocen ver un vaso y ninguna alguna otra cosa  es menor que una chance en un millón, en las condiciones dadas (ajuste a la realidad del 99,9%). Como no se conocen casos no patológicos en que se hayan suscitados discusiones acerca de si algo era un vaso o un hipopótamo o cualquier otra cosa, dado que siempre se reconoce un vaso, se puede estimar que nuestras percepciones se ajustan a la realidad. Como somos siete mil millones de habitantes del planeta de los cuáles la gran mayoría, los mayores de pongamos un par de años,  está capacitada para distinguir un vaso y nombrarlo, esos miles de millones que coinciden en sus percepciones hacen que la probabilidad que nuestras sensaciones se ajusten a una realidad exterior sea prácticamente igual a uno. Cabe aclarar que cuando algo no puede ocurrir nunca, su probabilidad es cero y cuando debe ocurrir siempre es uno. En el caso más complejo de por ejemplo la clasificación de una especie animal incluso puede ocurrir que difieran las clasificaciones de distintos zoólogos pero no en las características organolépticas que finalmente son las que definirán la especie de que se trata, como ocurrió con la fauna de Burgess Shale (La vida maravillosa, Stephen Jay Gould, Crítica 1991, Barcelona), porque ellas son las que producen nuestras sensaciones. Como corolario la probabilidad de que nuestras sensaciones nos engañen es prácticamente cero. Porque si un suceso tiene una probabilidad igual a uno, su opuesto tiene una igual a cero. Si bien no es una prueba, este razonamiento con estas probabilidades extremas es un ejemplo de inferencia estadística como las que han servido para tomar decisiones acertadas en la gris cotidianeidad de los laboratorios (naturales o sociales), en las  investigaciones criminales, en la industria, el comercio, etc. desde que los  estados comenzaron a recopilar datos que reputaron como importantes y Quetelet en 1844 diera comienzo al estudio de las regularidades que las mismas ofrecían, que conocemos con el nombre de estadística. Nuestras percepciones están pues muy cercanas a esa realidad aunque no la podemos conocer totalmente. Cualquier duda al respecto no es razonable de acuerdo con un amigo mío que es abogado y si queremos ponerlo en términos de los procedimientos estadísticos habituales debemos decir que nuestra hipótesis nula H₀ es que nuestra percepción es 99,9% efectiva, la alternativa H₁ es que es mayor al 99,9%, nivel de significación del 1% (y no de un millonésimo como en este texto más arriba) y H₀ se rechaza si el número de los que perciben correctamente el vaso (sin que nadie no lo perciba) es mayor que 4602. Para comprender mejor esto regresemos a Encuestas y Estadísticas I de este mismo blog donde se estudia una tirada de 100 veces con una moneda que se supone equilibrada si en número de caras resultante oscila entre 40 y 60, con un 95% de confianza. Esta es nuestra hipótesis nula H_0, y si se obtienen menos de 40 o más de 60, la moneda no está equilibrada, hipótesis alternativa H₁. Distinto es el caso si la moneda está trucada de modo que salgan más caras que cecas en este caso, con la misma confianza se considera  equilibrada si sale hasta 48 veces cara. En el caso original hay dos regiones de rechazo: de 0 á 40 veces cara y de 60 á 100. En este caso se dice que la prueba es a dos colas. En cambio ahora la región de rechazo va desde 48 á 100 o sea una cola.

También en las pruebas estadísticas se establece a priori el porcentual de confianza adecuado para la misma o su complementario, el nivel de significación (95% de confianza es el equivalente de 5% de significación). Para rechazar la hipótesis de que nuestras percepciones se ajustan 99,9% a la realidad bastan 4602 personas que coincidan en la observación de un objeto si es que no hay casos en contrario para un nivel de significación del 1% y 13809 si el nivel es de un millonésimo. Si fuera el más usual del 5% serían necesarias 2995. Este es un experimento imaginario que daría como aceptable que tenemos un ajuste e la realidad superior al 99,9%.

Encuestas y estadísticas II

Un caso típico que ejemplifica a los errores de tipo I y II es el que resulta del control de calidad. Cuando el comprador controla la mercadería que recibe, establece un número límite a admitir para el número de ítems defectuosos cuando se muestrea el lote, sobrepasado este número se rechaza todo el lote. Puede ocurrir que el límite sea superado aunque el cargamento sea en total correcto y sin embargo se rechace. Este es el riesgo del vendedor (error de tipo I) y si por el contrario el número de ítems defectuosos fuera menor al límite el cargamento será aceptado aunque en total no fuera correcto, esto constituye el riesgo del comprador (error de tipo II) y para fijar el criterio para la aceptación o el rechazo se suelen utilizar cartas de control como ayuda para que resulte uno adecuado.

Este esquema se presenta en muchas situaciones de nuestra vida social. Si consideramos que una población se puede dividir en dos grandes grupos (lo cual es un esquema simplista), uno de los cuales puede ser calificado de progresista y el otro de conservador, al discutirse cómo deberían ser las leyes a aplicar frente al delito, la parte progresista priorizará no condenar a un inocente, es decir no cometer un error de tipo I mientras que la parte conservadora la de no cometer un error de tipo II, en este caso de no condenar a un culpable.

En el caso de las encuestas para que todos estos cálculos sean correctos, las muestras deben cumplir con ciertos estándares de calidad como representar al universo a encuestar, ser elegidas aleatoriamente (muestreo probabilístico), considerar el efecto de diseño y la influencia de los rechazos a participar de la misma, además de la pertinencia de las variables a analizar por lo cual existe una tensión entre los recaudos a tomar de acuerdo a las reglas del arte y el costo y urgencias de cada estudio.

Lo que se publica en los medios de comunicación de masas en lo que respecta a encuestas, es decir que nos referimos sólo a aquellas estadísticas que resultan de contar respuestas de personas que se representan por números naturales y no a valores que provienen de otras medidas más complicadas p. ej. de la economía y que se basan en números reales, en el caso considerado hay fundamentalmente dos vertientes: en el primer caso se trata de los estudios realizados profesionalmente que debieran ser acompañados con la información de la metodología empleada, como tipo de muestreo, tamaño de la muestra y coeficiente de confianza elegido; en el segundo caso están las que realizan los propios medios, que constan de pocas preguntas, muchas veces de sólo una, que adolecen de varios problemas: uno no menor es que la muestra es voluntaria y por lo tanto no es proyectable a la población en general, además sólo representan a las personas expuestas al medio, un sesgo que a veces es malintencionado cuando la “encuesta” se refiere o toca intereses del mismo medio. Tampoco es posible determinar rechazos y mucho menos aplicar los procesos estadísticos que permiten morigerar sus efectos. Sin embargo se publican cada vez más de estas “encuestas” sobre todo en diarios y revistas y sobre cualquier tema: política, fútbol, economía, preferencias sociales y/o, faranduleras, diversos rankings, y otros más, lo que conlleva una banalización del instrumento por parte de los medios y la creencia de algunos que realizar una encuesta está al alcance de cualquiera con acceso a la prensa. Éstas carecen de todo valor.

Encuestas y Estadísticas

Se atribuye al Primer Ministro inglés Benjamín Disraeli la frase “Hay tres clases de mentiras: las mentiras, las malditas mentiras y las estadísticas”

Es natural este cuestionamiento ante los números porque en muchas oportunidades los mismos no acompañan nuestros deseos, creencias, fantasías o simplemente no nos acompañan en el resultado de alguna gestión como en este caso. Otras veces porque favorecen a algún adversario o por alguna otra carencia propia de nosotros los humanos. También es cierto que en muchas ocasiones la información estadística se falsea para obtener beneficios ya sea económicos, de imagen, de dominación cuando los interlocutores no tienen acceso suficiente a la misma, etc. Para poder ejercer un criterio propio ante una serie de datos se hace entonces imprescindible adquirir una noción acerca de la consistencia del razonamiento estadístico.

En primer lugar hay que diferenciar los datos según sean provenientes de un censo o de una encuesta. Si están originados en un censo los mismos son considerados exactos siempre que se refieran al tiempo y lugar en que fueron obtenidos, así la población de la Argentina que resulte del censo nacional de población de 2010 estará referida a todo el territorio del país al día 27 de octubre, luego continuarán los nacimientos y las muertes pero se seguirá considerando la cantidad obtenida como la población del país por un tiempo, del mismo modo que se considera a un automóvil como cero kilómetro durante un tiempo aunque ya haya recorrido unos cuantos. Con el correr del tiempo se irá estimando la población en función de las tasas de nacimiento y mortalidad, hasta que se realice el próximo censo. Por otra parte los censos se someten a criterios de validación para depurarlos de los errores que se pudieran cometer. De modo que los censos se consideran no sometidos a errores de tipo estadístico que son los cometidos cuando en lugar de toda la población se releva sólo una parte de ella, llamada muestra.

Pero si hay errores de tipo estadístico, quiere decir que los hay de otro tipo, veamos algunos ejemplos:

1. Se quiere ver el grado de aceptación de un candidato presidencial tomando las personas mayores de 40 años

2. Se quiere conocer el rechazo en la población a la violencia contra la mujer, pero no se consulta a las hombres mayores de 50 años

3. Se mide el consumo de una canasta de productos en la Capital Federal, pero sólo de Rivadavia hacia el río

En el primer caso si el candidato es un cantante de rock, seguramente va a resultar poco atrayente para el público encuestado y también seguramente con menor atracción en general que si se consultara a todas las edades. En el segundo al dejarse fuera al sector menos opuesto a la violencia de género, se estimaría una menor permisividad ante la violencia contra la mujer. Finalmente se daría una sobreestimación del consumo en la capital, al dejarse de lado a las zonas más pobres de la misma. En todos estos casos el mal diseño de los estudios introduce sesgos en los resultados, según se ha detallado. En cada caso se trata de errores sistemáticos porque se producen para cada caso en la misma dirección. En estadística no se trata con esta clase de errores que son indicadores de mala praxis, encuestas que no sirven. Veamos en qué consisten los errores estadísticos. Para ello tomaremos como modelo las tiradas de una moneda en la cual cada una de las mismas se asimila a un cuestionario con una sola pregunta que tiene respuesta por sí o por no. (Cara = sí, ceca = no). Un supuesto para el caso es que la moneda está equilibrada, las chances de que salga cada uno de los lados es la misma (en una encuesta las chances para cada respuesta serían las mismas). Ahora seguiremos considerando solamente las monedas porque se aclara la exposición y las consideraciones y resultados son los mismos.

Cada vez que hagamos tiradas de 100, difícilmente salgan 50 caras, por el contrario saldrán series con distintas cantidades de caras (si no lo cree, hágalo) de modo que si bien por la clase de la moneda que es equilibrada se pueden esperar 50 caras este valor estará sujeto a error en el sentido que la mayor parte de las veces se agruparán cerca de ese valor central, a veces menos, a veces más de modo que hay un 95% de chances de que el número de caras esté entre 40 y 60 y se dice que el intervalo (40,60), que también se escribe 50+-10, es de confianza. ¿Por qué? Porque se puede confiar que si las salidas en 100 tiradas de una moneda resultan en un número del intervalo, la misma esté equilibrada. En el ejemplo, como las chances previas eran del 95%, se le llama intervalo de confianza del 95%.

Ahora bien, una moneda equilibrada, bien puede salir menos de 40 veces o más de 60 y no estará en el intervalo de confianza o sea no se aceptará como tal. Esto es un error. En el caso de una moneda no equilibrada, si la misma está menos o más desviada tiene más o menos chances respectivamente de a pesar de todo caer dentro del intervalo de confianza. Otro error. Son dos tipos de error. En el primer caso se rechaza una hipótesis cierta, y en segundo se acepta una falsa. Un error no es lo mismo que una mentira. Sirve a qué atenernos cuando nos movemos en casos de inexactitud. Veamos algo de nuestro razonamiento. Si no quisiéramos rechazar una hipótesis cierta, o sea tener un 100% de confianza, el intervalo iría de 0 á 100, y todas las monedas serían consideradas equilibradas, no importaría lo desequilibradas que estuvieran y por lo tanto este criterio del 100% de confianza no serviría a ningún efecto, y si no quisiéramos aceptar una hipótesis falsa, sólo admitiríamos como verdadero el caso de que en las 100 tiradas, resultaran exactamente 50 caras, cuya chance es menor que 8%, quiere decir que estaríamos rechazando en un 92% de ocasiones a monedas bien realizadas. Si se aumenta el nivel de confianza, para disminuir las chances de rechazar una hipótesis cierta, aumentan las chances de aceptar una hipótesis falsa. Si se disminuye la probabilidad de esta, aumenta la de rechazar una cierta. En los libros se llama error de tipo I al que consiste en el rechazo de una hipótesis cierta y de tipo II al restante. En cuanto a la elección del nivel, por lo general depende de cada aplicación concreta se usa frecuentemente el de 95% aunque en algunos estudios de mercado el autor ha usado hasta un 80% de confianza si era necesario para el nuevo producto estudiado disminuir las chances de una fácil aceptación del mismo en función de su costo de producción. El valor a priori del intervalo de rechazo de la hipótesis se llama nivel de significación, en el caso general es del 5%. Para un intervalo de confianza del 80% el nivel de significación es del 20%

Continuará.

Palitos

Una corriente educativa mundial tiende a emplear sofisticadas tecnologías al par que casi no se desarrollan formas autónomas del pensar. Es como si se priorizara la formación de mentes básicas, sin creatividad, con el auxilio de un herramental tecnológico de avanzada. En la antigua Grecia llegaron a medir la tierra con una gran precisión haciendo uso de un palito, la diferencia consistió en la imaginación empleada para acometer el problema.

Para ello hacia el año 235 a.C. Eratóstenes de Cirene midió la tierra por comparación de la longitud de las sombras que marcan dos objetos del mismo largo en lugares diferentes. Estos lugares fueron las actuales ciudades de Asuan y Alejandría principalmente porque en Asuan, en el día del solsticio de verano no hay sombras al mediodía, los rayos del sol caen perpendicularmente sobre su superficie. Entonces midiendo la sombra de un obelisco o palo en la ciudad de Alejandría su sombra ayuda al cálculo de las dimensiones terrestres. Alejandría fue considerada sobre el meridiano de Asuan lo que introdujo un error no importante.

Sobre la forma concreta en que hizo su medición Eratóstenes, hay diversas versiones, distintos tamaños del obelisco: 1 metro, 4 metros, distintas formas de medir las distancias entre las ciudades: usando caravanas comerciales, soldados, caminantes especialmente contratados, etc. Para hacer más simple la exposición consideraremos el obelisco como de un metro. Tampoco el estadio, la medida de longitud de la época, tiene una versión única de modo que según distintos autores varía entre 157,5 (estadio real egipcio) y 178,125 (estadio de Olimpia) metros. Con la distancia entre ambas ciudades conocida, que es el arco del meridiano terrestre local se puede calcular el círculo terrestre total en forma como se verá sencilla.

Eratóstenes consideró que el sol estaba lo suficientemente lejos como para suponer que sus rayos llegaban a la tierra en forma paralela y que si en Asuan no hay sombra es porque allí obviamente los rayos caen perpendicularmente, mientras que en Alejandría no. Entonces la tierra está inclinada en esta última de manera que desde Asuan hasta Alejandría está curvada. A mayor diferencia angular, menor distancia entre las ciudades, más chica resultaría la tierra.

La sombra de un obelisco de un metro midió 12 centímetros, y haciendo uso de los conocimientos de trigonometría ya en su haber determinó que esa longitud estaba relacionada a un ángulo de 7 gra¬dos con 12 minutos entre los rayos del sol y la vertical.

Con cualquier método que se haya obtenido, hay casi unanimidad acerca de la distancia entre ambas ciudades: unos 5000 estadios y lo demás es regla de tres:

Si a 7 grados con 12 minutos corresponden 5000 estadios, a los 360 grados de la circunfe¬rencia completa lo harán 250000, y ésa es la circunfe¬rencia total de la Tierra, equivalente a 44.500 Km. (Olimpia), o 39400 Km. (Egipcio). Hoy las medicio¬nes más precisas dan 40.008 Km. para el caso. Eratóstenes midió con menos de 12% o 2% de error según el caso, con un palito.

Esto tiene mucho que ver con la forma en que se enseña matemáticas en las escuelas. Al respecto se pueden realizar dos experiencias: que en ciudades sobre el mismo meridiano, se hagan mediciones de los ángulos de los rayos solares con la vertical de cada lugar, al mediodía y se intercambien la información para calcular las dimensiones terrestres o bien trabajar sobre algún material curvo y simular la experiencia (aquí lo que se obtendría sería la circunferencia relacionada con el material curvo empleado).

En ambos casos la resolución de un problema concreto (y más interesante que los corrientes de los libros) enseña a pensar y a hacer menos tediosa la enseñanza.

Racionalidad del azar

En la medida que las ciencias naturales van explicando cada vez más cosas y que los avances tecnológicos resultantes se incorporan a la vida cotidiana es más y más difícil sostener con honestidad que la propia naturaleza es irracional. Queda para los tenaces defensores de alguna suerte de irracionalismo sostener que a) la intuición emocional es superior a la racionalidad para el conocimiento de los fenómenos naturales y únicos, no sujetos a leyes naturales. O bien b) que por las limitaciones de nuestros medios de conocimiento, existe un vacío entre lo que conocemos y la realidad que se llena por lo irracional.

Ahora bien, resulta que la evolución, que hace poco tiempo hubo de ser reconocida por Juan Pablo II como mucho más que una teoría teniendo en cuenta todas las comprobaciones que se fueron haciendo de la misma tanto por la paleontología como por la biología molecular, acaba de ser declarada irracional por Benedicto XVI sobre la base de estar sustentada en el azar. Además condenó a los científicos que “explican la existencia de la humanidad como resultado del azar” (Clarín, 13/09/06). Nos preguntamos el porqué de este retroceso, en nada beneficioso para la Iglesia Católica y nos enteramos que entre 1969 y 1977 el actual Papa fue profesor de Dogmática en la Universidad de Ratisbona y que también fue antes de su elección como pontífice el prefecto de la Congregación para la doctrina de la Fe, que en 1966 reemplazó a la Congregación del Santo Oficio más conocida como la Santa Inquisición, y se puede pensar que quizá no esté habilitado para “leer los signos de los tiempos”, aquéllos que mencionara Juan XXIII.

En primer lugar la probabilidad de un suceso no es una medida de nuestra ignorancia como hace más de dos siglos sostuvieron algunos matemáticos y que asignaban en forma equiprobable las mismas cuando ellos ignoraban las características del fenómeno aleatorio considerado.

Aún hoy es posible encontrar en ensayos y obras de divulgación este método de asignación. Estas ideas fueron rápidamente abandonadas debido a los numerosos contraejemplos que las vulneraron.

Así no faltó quien demostrara la existencia de mamíferos en la luna, en épocas muy anteriores al lanzamiento de vehículos a la misma.

El razonamiento era: Como no se sabe si hay perros en la luna, la probabilidad de que sí haya es ½ lo mismo de que no haya; otro tanto ocurre con los caballos y la probabilidad de que no haya ni perros ni caballos es 1/2x1/2=1/4. Continuando con este razonamiento para las 8000 especies de mamíferos existentes, la probabilidad de que no exista ningún mamífero será igual a ½^8000 que es aproximadamente igual a 1/10^903 y esto es igual a 1 dividido por un número que es igual a un 1 seguido de 903 ceros, en la práctica un número muy pequeño casi igual a cero, y si la probabilidad de que no existan mamíferos en la luna es casi cero, la de que exista por lo menos una especie es casi uno, ¡la certeza! Esto quiere decir que hemos partido de un principio falso que está constituido por una asignación de las chances hecha sin ningún fundamento, producto de nuestra ignorancia. La probabilidad no mide nuestra ignorancia, sino que es inherente al fenómeno. Como se ha visto en el ejemplo de los dados, del post Matemáticas y realidad, que se comportan como distinguibles aunque no estén pintados con distintos colores. Lo que mide nuestra ignorancia son las asignaciones de este tipo y su distancia de lo real.

Es que los fenómenos aleatorios existen en la naturaleza y las herramientas para su estudio se parecen a las usadas para la investigación de otros fenómenos. En primer lugar al libro de la naturaleza, siguiendo a Galileo, se lo lee con el lenguaje de las matemáticas y para lo aleatorio hay un sistema de axiomas que nos permiten su comprensión porque han sido tomados de la realidad tal como lo aconsejaba Aristóteles, que, en versión simplificada son:

a) la probabilidad de un suceso imposible es 0.

b) La probabilidad de un suceso cualquiera es menor o igual a 1.

c) La probabilidad de que ocurra alguno de dos sucesos es igual a la suma de sus probabilidades menos la de que ocurran ambos al mismo tiempo.

Con estos axiomas se pueden estudiar la totalidad de los fenómenos aleatorios.

Por ejemplo, supongamos que en una ruleta jugamos a color. Aquí las leyes del movimiento de la ruleta no determinan que el color que salga sea negro o colorado. Sin embargo, en estos fenómenos intervienen variables que pueden determinarse, ejemplo: como hay la misma cantidad de números de cada color (despreciando el cero) y además cada número ocupa el mismo lugar que los demás, las chances son parejas. También intervienen variables que pueden variar en su intensidad como el impulso dado por el croupier, etcétera. Es decir que entre las causas que producen un resultado hay algunas inherentes al desarrollo del proceso, en este caso los dos colores de los números de la ruleta, y otras que no. En el ejemplo anterior, la forma en que se distribuyen los colores en la ruleta determina que las chances sean parejas pero otras, como el impulso inicial dado por el croupier, que no hacen al desarrollo del proceso pero que intervienen eventualmente, determinan uno u otro resultado, es decir, que las leyes de los fenómenos aleatorios permiten medir la posibilidad de ocurrencia de un evento, pero no determinan un resultado fijo. Puede argumentarse que cada resultado tiene una causa, y así es, pero estas causas pueden darse o no en los casos particulares (en cada tirada) porque no son inherentes al sistema. Estas variables que no son inherentes al sistema y por lo tanto intervienen de modo que podemos considerar eventual fueron llamadas funciones arbitrarias por el matemático Frechet y se eliminan sin problemas una vez considerada la forma en que se distribuyen sus intensidades de modo que se puede demostrar que la probabilidad para cada uno de los colores es un medio (método de las funciones arbitrarias). Resumiendo: en un fenómeno aleatorio existen varios resultados posibles y a partir de las leyes de su desarrollo no se puede determinar cuál de ellos ocurrirá en una observación dada, sino que sólo es posible medir las chances de las alternativas.

Como conclusión resulta que existe un vasto herramental matemático para la solución de problemas que involucran al azar. La definición entonces de probabilidad como medida de nuestra ignorancia no tiene entidad actualmente, con lo que la opción b) mencionada arriba queda descartada.

Nos queda sólo la alternativa a) para considerar la relación del azar con el origen de la vida.

En el cálculo de probabilidades una magnitud importante es la llamada esperanza matemática para la ocurrencia de un suceso: si se arroja repetidamente una moneda que tiene la probabilidad p de salir cara, pongamos que se tira n veces, se espera, de aquí el nombre, que salgan np caras o sea si se arroja 100 veces una moneda equilibrada (p=1/2), se espera que salgan 100*(1/2)= 50 caras. Esto no quiere decir que cada vez que se arroje 100 veces la moneda van a salir 50 caras, pero sí que la mayoría (95%) de las veces van a salir entre 40 y 60 caras.

En el caso en que cada serie fuera de 10000 tiradas, la esperanza sería de 5000 caras y la mayoría, de nuevo un 95% de las veces, saldrían entre 4900 y 5100 caras. Los intervalos así determinados se llaman intervalos de confianza, en estos casos con coeficiente igual al 95%, en lenguaje popular serían algo así como los “errores” que se escriben 5000+-100 ó 50+-10.

Consideremos ahora el caso de una moneda cuya probabilidad de salir cara sea 0,000001. arrojada 1000000 de veces daría como esperanza 1 vez cara. 100000000 daría 100 caras, etc. Es por esto que los sucesos improbables alguna vez ocurren y cada tanto alguien acierta el loto, quini, o cualquier juego de azar.

En los océanos primitivos de nuestro planeta la cantidad de moléculas de sustancias que ahora estudia la química orgánica hizo posible la aparición de la vida por más poco probable que fuera para cada molécula en particular, porque esa cantidad de moléculas equivalía a enormes tiradas con una moneda, argumento a favor del surgimiento contingente de la vida que no tiene nada de irracional, porque no estamos ante un caso único no sujeto a leyes naturales como se indica al inicio de este artículo sino que por el contrario existían cantidad de moléculas susceptibles de transformarse en vida. El azar siempre se refiere a hechos que se repiten.

Si consideramos que las rocas más antiguas están datadas a 4000 millones de años y que se observan restos fósiles de organismos de una sola célula en rocas de unos 3800 millones de años quizá las primeras con chances de albergar estos restos, las probabilidades de originarse la vida a partir sustancias orgánicas eran más altas de lo que se podría suponer.

Apéndice de Alfonso  La ciencia y sus alrededores 

Matemáticas y realidad. Terreno peligroso

La relación de las matemáticas con la realidad ha sido materia de arduas polémicas. Concretamente la discusión se centra en la aplicabilidad de las matemáticas a la naturaleza o a la sociedad.

Existe cantidad de aplicaciones de la matemática no sólo por solicitaciones externas sino también las que resultan de desarrollos a veces muy anteriores a los que se halla luego aplicación.

Resulta que es imposible atribuir a simples coincidencias esta gran cantidad de aplicaciones. Cuánto más aplicaciones se fueron hallando, más improbable se fue haciendo la idea de que fueran coincidencias, por lo que se hace necesaria una explicación racional para este hecho.

Por otra parte en casos dudosos los matemáticos se apegan a las soluciones realistas. Un ejemplo lo constituye dentro del cálculo de probabilidades qué es lo que ocurre al arrojar una vez un par de dados iguales que no se pueden distinguir uno de otro dándose las siguientes alternativas:

¿Dados indistinguibles?

Se trata de contar de cuántas formas puede ocurrir cada suma de puntos: p. ej. se pueden obtener cuatro puntos de dos maneras, que en ambos dados salgan dos puntos, o que en uno salga uno y en el otro tres:

Suma de puntos Formas en que sale Probabilidad
     2                 (1,1)                1/21 uno en cada dado
     3                 (1,2)                1/21 uno en un dado y dos en el otro 
     4            (1,3) - (2,2)           2/21
     5            (1,4) - (2,3)           2/21
     6       (1,5) - (2,4) - (3,3)     3/21
     7       (1,6) - (2,5) - (3,4)     3/21
     8       (2,6) - (3,5) - (4,4)     3/21
     9            (3,6) - (4,5)           2/21
    10           (4,6) - (5,5)           2/21
    11                (5,6)                1/21
    12                (6,6)                1/21

Las probabilidades se obtienen considerando que hay 21 casos (21 pares) que son equiprobables (los dados se consideran equilibrados)
Si ahora consideramos a los dados distinguibles, p.ej. uno de ellos está pintado de azul, el número de casos crece a 36 porque (1,2) da lugar a las salidas (1 azul, 2 blanco) y a (1 blanco, 2 azul), y así siguiendo, y en la tabla anterior cada forma de salida con números distintos da lugar a dos como en el caso (1,2), pasando la probabilidad de sacar 3 puntos de 1/21 a 2/36 para comprobar lo cual basta con contar los casos. Del mismo modo cambia el resto de las probabilidades.

Ahora bien, si se contrasta con un número grande de tiradas de dos dados comunes sin pintar ocurre que la distribución de los resultados se ajusta como si estuvieran pintados con distintos colores y a ningún matemático serio se le ocurre alejarse del criterio de realismo implícito al elegir como cierto el hecho que en todos los casos los dados se comportan como distinguibles aunque no estén pintados.

Ya Galileo había comentado que el libro de la naturaleza estaba escrito con el lenguaje de las matemáticas presuponiendo la existencia de una realidad externa y tratando de explicar la aplicabilidad de las matemáticas a las ciencias naturales como la astronomía y la física. Sin embargo al tratar con las ciencias sociales esta aplicabilidad se torna más compleja dado que el objeto de estudio es la sociedad cuyos elementos son los seres humanos que por lo general diferimos ampliamente de los agregados de partículas que constituyen el objeto de estudio de las ciencias exactas.

Esto no obsta para realizar intentos de matematización que resultan errados y algunas veces meras supercherías.

Un ejemplo es de la economía de llamada pura que dio lugar a la elevación del mercado como regulador privilegiado de la sociedad con la consecuencia de miles de millones de hambrientos y con decenas de millones de ahorristas de clase media cuyos ahorros han sido pulverizados en la crisis en curso y cuyas consecuencias graves para la economía que ahora se reconoce como real no pueden todavía medirse.

En el plano teórico implicó no sólo a economistas sino también a un coro vocinglero de intelectuales, y es en esta economía donde se ha llegado hasta a proponer una teoría axiomática con los siguientes puntos de partida (axiomas):

     a) existe una racionalidad de los comportamientos de los competidores en el mercado,
     b) el equilibrio de mercado es el único procedimiento de coordinación,
    c) existe una racionalidad de las expectativas de los competidores en el mercado,
     d) el carácter estacionario de las relaciones puestas en evidencia

Se debe señalar que ya Aristóteles subrayó el carácter realista que debían tener los axiomas, cosa que en los casos a) y c) no se cumple, los concurrentes al mercado producen gran cantidad de personas que viven con menos de 2 dólares por día disminuyendo así los tamaños de sus mercados, lo cual no parece muy racional. Los b) y d) significan en buen romance que el sistema económico no se puede cambiar: lo que está en estado estacionario es porque llegó a un régimen permanente. Esta permanencia da un carácter “natural” al mismo, propio de los fundamentalismos religiosos, lo cual explica los notables fracasos del sistema neoliberal en todo el mundo (Alfonso, La economía como ciencia y sus axiomas. Realidad económica 180. 2001).

Aun suponiendo que éstos fueran realistas, la axiomática no está libre de problemas dado que hay proposiciones de las matemáticas que no se ha podido demostrar ni que sean ciertas, ni que sean falsas. Estas proposiciones se llaman indecidibles como por ejemplo, la conjetura de Goldbach, matemático austríaco, que data de 1742: todo número par es la suma de dos números primos. Si bien no hay ningún caso en que esto no se cumpla, tampoco se ha podido demostrar para todos los números pares. No se puede decidir por sí o por no.

En realidad está demostrado que los indecidibles son inherentes a los sistemas axiomáticos como los usados en matemáticas [Gödel (1931)]. Estos sistemas son incompletos es decir que no pueden demostrarse todas las proposiciones en ellos contenidas. Se ha intentado solucionar este problema con el agregado de nuevos axiomas, pero un segundo teorema de Gödel nos dice que en este caso el sistema resultante se tornaría no consistente es decir que no se puede demostrar que no tenga contradicciones. (Gödel: Obras completas. Alianza Universidad. 1981).

Esto quiere decir que aunque los axiomas de la economía neoliberal se cumplieran a rajatabla en todo el mundo, cosa que no es cierta, las dificultades inherentes a la axiomática eliminan la posibilidad teórica de un discurso económico (o pensamiento) único, debido a los problemas que resulten indecidibles. Como la economía, mal que les pese a los teóricos, tiene que ver con problemas reales de la sociedad, cada vez que uno de estos sea indecidible para los axiomas vigentes, se decidirá políticamente, de una u otra forma, independientemente de los axiomas.

Si se toma en cuenta la cantidad de economistas “puros”, consultores, periodistas económicos, gurúes diversos consultados por los medios, etc., para convencernos de las bondades del mercado, se tiene una idea de este enorme esfuerzo que se ha ido al traste con el actual tsunami económico mundial.

Matemáticas en Egipto

Aritmética y algebra

Los papiros que documentan las matemáticas egipcias están datados hace unos 3500/4000 años y resumen conocimientos que se originaron anteriormente.

Los egipcios conocían que cualquier número positivo se puede escribir como una suma de potencias de dos, p. ej:

35 = 1 + 2 + 32 = 2^0 + 2^1 + 2^5, porque usaban la tabla

2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, etc.

Esta propiedad numérica era utilizada para multiplicar como puede verse en el problema 32 del papiro del Rhind, que plantea hallar el producto 12 x 12, el procedimiento es el que sigue:

                1   12

                  2    24

                 *4   48

                 *8   96

                12  144

En la primera columna se comienza por la unidad y se va multiplicando por dos en cada fila, en la segunda columna se comienza por uno de los factores y también se va multiplicando cada fila por dos, de modo que cada fila duplica la anterior.

Los números que suman el otro factor (también doce en este caso) se marcan con una señal (en el ejemplo con un asterisco).

Finalmente se suman tanto estos números como los de la segunda de las filas correspondientes. Esta última suma es el resultado: 144.

Otro ejemplo, multiplicar 22 x 17:

            * 1    22

                 2    44

                 4    88

                 8   176

              *16   352

               17   374 resultado final.

Un método análogo era utilizado para la división, considerando además de las duplicaciones, las mitades, como en el problema 24 del papiro Rhind (dividir 19 por 8):

                           
                                      1       8 Divisor

                                     *2     16

                                    1/2      4

                                  *1/4       2

                                  *1/8       1

          Resultado 2+1/4+1/8     19 Dividendo

Ahora lo escribimos 19:8=2,375 (=2+1/4+1/8)

Para la división entre fracciones emplearon la llamada tabla de 2/n, que da todos los cocientes de 2 dividido por todos los impares hasta 101 inclusive:

  2/3= 1/2+1/6     2/9= 1/6+1/18              2/15= 1/10+1/30

  2/5= 1/3+1/15   2/11=1/6+1/66              2/17=1/12+1/51+1/68

  2/7= 1/4+1/28   2/13=1/8+1/52+1/104    2/19=1/12+1/76+1/114

 _________________________________________________________
 2/101=1/101+1/202+1/303+1/606.

                                  Tabla 2.1

Ejemplo, dividir 18+1/4+1/28 por 1+1/7:

     1   1+1/7

     2   2+1/4+1/28 porque 2/7=1/4+1/28 según la tabla

     4   4+1/2+1/14

     8   9+1/7

  *16  18+1/4+1/28 aplicando de nuevo la tabla

Luego el cociente es 16

Problemas aritméticos

El problema 24 del papiro Rhind tiene un enunciado más general que el dado más arriba:

A una cantidad se le suma 1/7 de ella y el resultado es 19. Hallar dicha cantidad.

Se asume que la cantidad es 7, entonces,

   * 1      7

   * 1/7   1

             8

Para que en lugar de 8 dé 19, hay que multiplicar por 19/8= 2+1/4+1/8 según el ejemplo dado más arriba:

        *1    2+1/4+1/8

        *2    4+1/2+1/4

        *4    9+1/2

             16+1/2+1/8

O sea que 7 x (2+1/4+1/8) = 16+1/2+1/8, que es la solución buscada: si a esta cantidad le sumamos 1/7 de sí misma nos da 19,

     16+1/2+1/8

      2+1/4+1/8

    19

Este método que consiste en ensayar una solución, en este ejemplo 7, y luego aproximar hasta encontrar la verdadera solución ahora se llama método de regula falsi, y se enseña en cursos de secundaria.

Además de resolver este tipo de problemas los egipcios establecieron algunas reglas o procedimientos, para encontrar las fracciones con numerador 1, en que se descomponen las fracciones con numerador 2, para construir la tabla 2.1 y seleccionar los valores elegidos, porque por lo general no hay soluciones únicas, p. ej. también es 2/3=1/4+1/ 5+1/6+1/20. Este tipo de formas de encarar los problemas trasciende lo aritmético y abre un camino con posibilidades de llegar al algebra.

Nótese que con estos métodos para calcular, con base decimal, no resulta implicado el cero ni la posición de las cifras, en otras palabras para los egipcios el cero no existió.

Extraído del libro La ciencia y sus alrededores de Fermín Jorge Alfonso